题目内容
【题目】已知抛物线C:的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一个圆上,求直线l的方程.
【答案】(1);(2)x-y-1=0或x+y-1=0.
【解析】
试题(1)由已知条件,先求点的坐标,再由及抛物线的焦半径公式列方程可求得的值,从而可得抛物线C的方程;(2)由已知条件可知直线与坐标轴不垂直,故可设直线的点参式方程:,代入消元得.设由韦达定理及弦长公式表示的中点的坐标及长,同理可得的中点的坐标及的长.由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,由此列方程可求得的值,进而可得直线的方程.
试题解析:(1)设,代入,得.由题设得,解得(舍去)或,∴C的方程为;(2)由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为,代入得.设则
.故的中点为.又的斜率为的方程为.将上式代入,并整理得.设则.故的中点为.
由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,从而即,化简得,解得或.所求直线的方程为或.
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