Question

已知函数f（x）=

b-3x

3x+1+a

是定义在R上的奇函数．
（1）求a，b的值．（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）若对任意t∈R，m∈[-1，1]，f（t²-2mt）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，f（1）=-f（-1），代入数据，计算可得a、b的值；
（2）首先对f（x）的表达式变形可得f（x）=

1

3

（

2

3x+1

-1），用作差法判断函数单调性即可；
（3）由于f（x）是奇函数，f（t²-2mt）+f（2t²-k）＜0可以变形为f（t²-2mt）＜f（k-2t²），又由f（x）为减函数，进一步可以变形为t²-2mt＞k-2t²，即3t²-2mt-k＞0对任意的t∈R恒成立，由二次函数的性质，可得△=4m²+12k＜0，即-3k＞m2对于m∈[-1，1]恒成立，解可得答案．

解答：解：（1）因f（x）=

b-3x

3x+1+a

是定义在R上的奇函数，
则有f（0）=0，即

b-1

3+a

=0，解可得b=1；
又f（1）=-f（-1），即

1-3

9+a

=-

1- 1 3

1+a

，解可得a=3．
（2）由（1）可得，f（x）=

1-3x

3x+1+3

=

1

3

（

2

3x+1

-1）
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

3

（

2

3x1+1

-

2

3x2+1

）=

2

3

（

3x2-3x1

(3x1+1)(3x2+1)

），
分析易得3x2＞3x1＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，
故f（x）是减函数；
（3）f（x）是奇函数，所以f（t²-2mt）＜f（k-2t²）
又由（1）得，f（x）=

1-3x

3x+1+3

=

1

3

（

2

3x+1

-1），且f（x）为减函数，
则t²-2mt＞k-2t²，即3t²-2mt-k＞0对任意的t∈R恒成立，
有△=4m²+12k＜0，即-3k＞m2对于m∈[-1，1]恒成立，
得-3k＞1，即k＜-

1

3

；
故k的取值范围是k＜-

1

3

．

点评：本题综合考查函数的性质，涉及函数的奇偶性、单调性的应用，解（3）的关键要灵活运用函数的有关性质，将问题转化为不等式恒成立的问题．