Question

已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）；
（2）若不等式（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x，解此方程组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）要使（

1

2

）^x+（

1

3

）^x≥m在（-∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在（-∞，1]上的最小值不小于m即可，利用函数的单调性求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x，得

6=ab 24=b•a3.

结合a＞0且a≠1，解得：

a=2 b=3.

∴f（x）=3•2^x．
（2）要使（

1

2

）^x+（

1

3

）^x≥m在（-∞，1]上恒成立，
只需保证函数y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在（-∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在（-∞，1]上为减函数，
∴当x=1时，y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x有最小值．
∴只需m≤

5

6

即可．

点评：此题是个中档题．考查待定系数法求函数的解析式，和利用指数函数的单调性求函数的最值，体现了转化的思想，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．