Question

已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常量且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），
（1）试确定f（x）；
（2）若不等式（

1

a

） ^x+（

1

b

） ^x-m≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把点A（1，6），B（3，24）代入函数的解析式求出a、b的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）由题意可得m≥(

1

2

)x+(

1

3

)x 在[0，+∞）上恒成立，根据 (

1

2

)x+(

1

3

)x 在[0，+∞）上是减函数，求出它的最大值，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常量且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），
∴

b•a=6 b•a3=24

，解得 a=2，b=3，故f（x）=3×2^x．
（2）不等式（

1

a

） ^x+（

1

b

） ^x-m≤0 在[0，+∞）上恒成立，故m≥(

1

2

)x+(

1

3

)x 在[0，+∞）上恒成立．
令g（x）=(

1

2

)x+(

1

3

)x，则g（x）在[0，+∞）上是减函数，故m≥g_max（x）=g（0）=2，
故m的取值范围为[2，+∞）．

点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．