题目内容

已知函数f(x)=b•ax(a>0且a≠1),且f(k)=8f(k-3)(k≥4,k∈N*).
(1)若b=8,求f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*);
(2)若f(1)、16、128依次是某等差数列的第1项,第k-3项,第k项,试问:是否存在正整数n,使得f(n)=2(n2-100)成立,若存在,请求出所有的n及b的值,若不存在,请说明理由.
分析:(1)由函数f(x)=b•ax(a>0且a≠1),且f(k)=8f(k-3)(k≥4,k∈N*),知8a4=64a,解得a=2.由此能够包出f(1)+f(2)+…+f(n)=8[a+a2+a3+…+an]=
a(1-an)
1-a
=16(2n-1).
(2)由f(1)、16、128依次是某等差数列的第1项,第k-3项,第k项,设等差数列的公差为d,则d=
112
3
.由a=2,知f(1)=2b,b=
248-56k
3
.由题意知,要使方程b2n=2(n2-100)有正整数解,则b=
248-56k
3
=64-56m,m∈N+
,由此进行分类讨论能够得到存在正整数n,使得f(n)=2(n2-100)成立,此时b=-48.
解答:解:(1)∵函数f(x)=b•ax(a>0且a≠1),且f(k)=8f(k-3)(k≥4,k∈N*),
∴f(4)=8f(1),即8a4=64a,
解得a=2.
∵b=8,f(x)=8ax
∴f(1)+f(2)+…+f(n)
=8[a+a2+a3+…+an]
=
a(1-an)
1-a
=16(2n-1).
(2)∵f(1)、16、128依次是某等差数列的第1项,第k-3项,第k项,
设等差数列的公差为d,∴d=
112
3

由(1)知a=2,∴f(1)=2b,
∴128=2b+(k-1)×
112
3
,∴b=
248-56k
3
(k≥4,k∈Z),(*)
由题意知,要使方程b2n=2(n2-100)有正整数解,结合(*)式可知b的取值为整数,
b=
248-56k
3
=64-56m,m∈N+

令g(x)=f(x)-2(x2-100)=b2x-2x2+200,
①当b>0时,b=8,g(x)=8•2x-2x2+200,
g′(x)=bln2•2x-4x=4(2ln2•2x-x),
当x∈[1,+∞)时,2ln2•2x-x>2x-x>0,
则g′(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)内单调递增,
而g(1)=214>0,∴g(x)>0,x∈[1,+∞),
∴当b=8时,不存在正整数n,使得f(n)=2(n2-100)成立.
②当b<0时,由b=64-56m,m∈N+可知
若m>2,m∈N+,即b=64-56m≤-104,
则g(x)=b2x-2x2+200<0对一切x∈[1,+∞)都成立,
∴不存在正整数n,使得f(n)=2(n2-100)成立.
当m=2时,b为-48,g(x)=-48×2x-2x2+200,
∴g(x)在[1,+∞)内单调递减,
又g(1)=102>0,
g(2)=-48×4-8+200=0,
∴存在n=2,满足f(n)=2(n2-100).
综上所述:存在正整数n,使得f(n)=2(n2-100)成立,此时b=-48.
点评:本题考查数列与函数的综合运用,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的灵活运用,合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网