Question

6．有下列四个命题：
①若函数定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数；
②若函数定义域关于原点对称，则该函数为奇函数或偶函数；
③若定义域内存在一实数x，使得f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数；
④若定义域内存在一实数x，使得f（-x）≠f（x），则f（x）不为偶函数；
⑤既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）；
⑥偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点个数一定是偶数，以上命题中正确的为①④⑤⑥．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性的定义域性质判断选项①②③④⑤，利用函数的零点与奇偶性的关系判断⑥即可．

解答 解：对于①，由函数的奇偶性的定义可知，若函数定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数；所以①正确；
对于②，若函数定义域关于原点对称，则该函数满足函数奇偶性的定义，函数为奇函数或偶函数，所以②不正确；
对于③，若定义域内任意一实数x，使得f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数；所以③不正确；
对于④，若定义域存在一实数x，使得f（-x）≠f（x），则f（x）不为偶函数；所以④正确；
对于⑤，因为函数f（x）=0，满足函数的奇偶性的定义，所以既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）；所以⑤正确；
对于⑥，偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点的个数一定是偶数；由偶函数的对称性可知，所以⑥正确；
故答案为：①④⑤⑥．

点评 本题考查函数的奇偶性的定义域性质，函数的图象的应用，基本知识的考查．