Question

9．圆O的半径为2，△ABC是其内接三角形，BC=3，则${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$的最大值为12．

Answer 1

分析 如图所示，过点O作OD⊥BC，垂足为D点，可得$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=0．利用向量的三角形法则和平行四边形法则可得则${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=2|$\overrightarrow{AO}$||$\overrightarrow{BC}$|cos＜$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{BC}$＞，再利用数量积运算即可得出．

解答 解：如图所示，过点O作OD⊥BC，垂足为D点，则$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=0．
则${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$
=2|$\overrightarrow{AO}$||$\overrightarrow{BC}$|cos＜$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{BC}$＞
=2×2×3cos＜$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{BC}$＞≤12，当$\overrightarrow{AO}$∥$\overrightarrow{BC}$且同向时取等号．
因此${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$的最大值为12．
故答案为：12．

点评 本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和辅助线的作法，属于难题．