Question

14．已知函数f（x）=$\frac{m{x}^{2}+2}{3x+n}$是奇函数，且f（2）=$\frac{5}{3}$，
（1）求实数m和n的值；
（2）函数f（x）在区间[-2，-1]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的关系建立方程即可求实数m和n的值；
（2）求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可求函数f（x）在区间[-2，-1]上的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{m{x}^{2}+2}{3x+n}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{m{x}^{2}+2}{-3x+n}$=-$\frac{m{x}^{2}+2}{3x+n}$，
即-3x+n=-3x-n，
得n=-n，解得n=0，
此时f（x）=$\frac{m{x}^{2}+2}{3x}$，
∵f（2）=$\frac{5}{3}$，
∴f（2）=$\frac{4m+2}{6}$=$\frac{5}{3}$，
即m=2．
综上知，m=2，n=0．
（2）∵m=2，n=0．
∴f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{3x}$=$\frac{2x}{3}$+$\frac{2}{3x}$，
函数的导数f′（x）=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-2}{3{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得2x²-2＞0，即x²＞1，解得x＞1或x＜-1，此时函数递增．
由f′（x）＜0得-1＜x＜1，此时函数单调递减．
即当x=-2时，函数取得最大值，为f（-2）=-$\frac{5}{3}$，
f（-1）=-$\frac{4}{3}$，
∴最小值为-$\frac{4}{3}$，
即函数f（x）在区间[-2，-1]上的最大值为-$\frac{5}{3}$，最小值为-$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数在闭区间上的最值的求解，求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．