Question

4．设C是∠AOB所在平面外的一点，若∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，其中θ是锐角，而OC与平面AOB所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则θ的值为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 75°

Answer 1

分析 画出图形，在边OC上取点D，作DE⊥平面AOB，根据条件便知垂足E在∠AOB的平分线上，然后再过E作EF⊥OB，并连接DF，可设OD=x，这样根据所给的∠COB=θ，OC与平面AOB所成的角即可得到$\frac{\sqrt{3}}{3}xcos\frac{θ}{2}=x•cosθ$，进一步得到$\frac{\sqrt{3}}{3}cos\frac{θ}{2}=2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1$，这样解出cos$\frac{θ}{2}$，从而得到$\frac{θ}{2}$，进而得出θ值．

解答 解：如图，
在边OC上取一点D，过D作DE⊥平面AOB，根据已知条件，垂足E在∠AOB的角平分线上，过E作EF⊥OB，垂足为F，连接DF，则：
∵DE⊥平面AOB，OB?平面AOB；
∴DE⊥OB，即OB⊥DE；
又OB⊥EF，DE∩EF=E；
∴OB⊥平面DEF；
∴OB⊥DF，设OD=x，则：OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$；
∴$OF=\frac{\sqrt{3}}{3}x•cos\frac{θ}{2}=x•cosθ$；
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}cos\frac{θ}{2}=cosθ$；
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}cos\frac{θ}{2}=2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1$；
解得$cos\frac{θ}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$-\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵θ为锐角，∴$\frac{θ}{2}$为锐角；
∴$cos\frac{θ}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{θ}{2}=30°$；
∴θ=60°．
故选：C．

点评 考查线直线与平面所成角的概念，线面垂直的性质及判定定理，以及直角三角形的边角关系，二倍角的余弦公式．