Question

2．已知曲线y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（　　）

• A． x+4y-2=0
• B． x-4y+2=0
• C． 4x+2y-1=0
• D． 4x-2y-1=0

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，再由基本不等式可得切线的斜率的最小值，可得切点的坐标，再由斜截式方程，即可得到切线方程．

解答 解：y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$的导数为y′=-$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$，
即有-$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$≥-$\frac{1}{2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}+2}$=-$\frac{1}{4}$．
当且仅当x=0时，取得等号．
即有切线的斜率为k=-$\frac{1}{4}$，切点为（0，$\frac{1}{2}$），
则切线的方程为y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$，
即为x+4y-2=0．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键．