Question

5．过点M（2，1）作曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的弦．使M是弦的三等分点．求弦所在直线方程．

Answer 1

分析 通过设过点M的直线l与椭圆C的交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用反证法可知直线l的斜率存在，并设其方程为y-1=k（x-2），通过联立直线l与椭圆方程、利用韦达定理可知x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-8k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}-16k-12}{1+4{k}^{2}}$，通过三等分点坐标公式可知2=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，进而可知x₂=$\frac{8{k}^{2}+8k+6}{1+4{k}^{2}}$、x₁=$\frac{8{k}^{2}-16k-6}{1+4{k}^{2}}$，计算即得结论．

解答 解：设过点M的直线l与椭圆C的交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
假设直线l斜率不存在时，则直线l方程为：x=2，
在椭圆C方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1中令x=2可知：y=±$\sqrt{3}$，
∵2（$\sqrt{3}-1$）≠$\sqrt{3}+1$，
∴点M不是弦AB的三等分点，
故直线l的斜率存在，设直线l方程为：y-1=k（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=kx-2k}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-16=0}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-12=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-8k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}-16k-12}{1+4{k}^{2}}$，
∵点M（2，1）是弦AB的三等分点，
∴2=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，即6=x₁+x₂+x₂，
x₂=6-（x₁+x₂）
=6-$\frac{16{k}^{2}-8k}{1+4{k}^{2}}$
=$\frac{8{k}^{2}+8k+6}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₁=x₁+x₂-x₂
=$\frac{16{k}^{2}-8k}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}+8k+6}{1+4{k}^{2}}$
=$\frac{8{k}^{2}-16k-6}{1+4{k}^{2}}$，
又∵x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}-16k-12}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{8{k}^{2}-16k-6}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{8{k}^{2}+8k+6}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{16{k}^{2}-16k-12}{1+4{k}^{2}}$，
化简得：12k²+16k+3=0，
解得：k=$\frac{-4±\sqrt{7}}{6}$，
∴弦所在直线方程为：y-1=-$\frac{4+\sqrt{7}}{6}$（x-2）或y-1=-$\frac{4-\sqrt{7}}{6}$（x-2）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及三等分点坐标公式，注意解题方法的积累，属于中档题．