题目内容
7．某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为$\frac{1}{5}$，甲队获得第一名的概率为$\frac{1}{6}$，乙队获得第一名的概率为$\frac{1}{15}$．（Ⅰ）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P1，P2；
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队得分为X，求X的分布列及期望．
分析 （1）阅读得出队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，甲队获得第一名的概率为${P_1}×{P_2}=\frac{1}{6}$； 乙队获得第一名的概率为$（1-{P_1}）×\frac{1}{5}=\frac{1}{15}$，求解方程组即可．
（2）根据题意得出X可能取的值为：0，3，6，分别求出概率得出分布列即可，求解数学期望．
解答 解：（Ⅰ）由题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，
∴甲队获得第一名的概率为${P_1}×{P_2}=\frac{1}{6}$； ①
同理：乙队获得第一名的概率为$（1-{P_1}）×\frac{1}{5}=\frac{1}{15}$．②
由①②得：${P_1}=\frac{2}{3}，{P_2}=\frac{1}{4}$．
所以甲队战胜乙队的概率为$\frac{2}{3}$，甲队战胜丙队的概率$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）$P（X=0）=（1-\frac{2}{3}）（1-\frac{1}{4}）=\frac{1}{4}$；
$P（X=3）=\frac{2}{3}（1-\frac{1}{4}）+（1-\frac{2}{3}）\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$；
$P（X=6）=\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$．
X的分布列为：
| X | 0 | 3 | 6 |
| P | $\frac{1}{4}$ | $\frac{7}{12}$ | $\frac{1}{6}$ |
点评 本题考察了古典概率在实际问题中的应用，考察了学生的阅读分析能力，计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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17．
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