Question

正项数列{a_n}满足a₁=2，(an-2)2=8Sn-1(n≥2)，则{a_n}的通项公式为a_n=

4n-2

．

Answer 1

分析：已知正项数列{a_n}满足a₁=2，(an-2)2=8Sn-1(n≥2)，根据递推式，求出a2，a3，猜想出通项公式，利用数学归纳法进行证明，从而求解；

解答：解：∵正项数列{a_n}满足a₁=2，(an-2)2=8Sn-1(n≥2)，（a_n＞0，n≥2）
当n=2时，（a₂-2）²=8s₁，s₁=a₁，
∴a₂=6，
当n=3时，（a₃-2）²=8s₂，s₂=a₁+a₂，
∴a₃=10，可以推测其为等差数列；
猜想a_n=4n-2，现用数学归纳法进行证明：
当n=1时，a₁=6，满足；
假设当n≤k时也成立，则有a_k=4k-2，
那么当n=k+1时，∵（a_k-2）²=8s_k-1…①，
∴（a_k+1-2）²=8s_k…②，
②-①得，（a_k+1-a_k）（a_k+1+a_k-4）=8a_k，
∴（a_k+1-4k-2）（a_k+1+4k-2-4）=8（4k-2），
∴a_k+1=4k+2=4（k+1）-2，当n=k+1时，也成立；
根据归纳法可知：{a_n}的通项公式为a_n=4n-2，
故答案为4n-2；

点评：此题主要考查利用数学归纳法求数列的通项公式，此题难度比较大，是一道中档题；