题目内容
3．已知数列an}满足$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$（n≥3），求证：{an}是等差数列．分析 由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，n≥3，①，得到$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，n≥3，②，两式相减，根据等差数列的定义即可证明/
解答 证明：∵$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，n≥3，①
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，n≥3，②
②-①可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$-=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，两边同乘以a1anan+1可得
a1=nan-（n-1）an+1，
∴a1=（n+1）an+1-nan+2，
两式相减可得0=-nan+2+（n+1）an+1+（n-1）an+1-nan，
∴0=-nan+2+2nan+1-nan，
∴2an+1=an+2+an，即an+2-an+1=an+1-an，
∴数列{an}为等差数列．
点评 本题考查等差数列的定义，关键等式，利用作差法，属中档题．
能考试期末冲刺卷系列答案| A． | {-1} | B． | {0} | C． | {0，1} | D． | {1} |
| A． | （$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$） | B． | $（\frac{π}{3}，\frac{1}{2}）$ | C． | （$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），$（\frac{5π}{6}，\frac{1}{2}）$ | D． | $（\frac{π}{3}，\frac{1}{2}）$，$（\frac{2π}{3}，\frac{1}{2}）$ |