题目内容
11．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”，并求其发生的概率；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望．
分析 （Ⅰ）设个位数字是5的“三位递增数”为事件A，利用列举法求出事件A包含的基本事件的个数，再求出全部“三位递增数”人个数，由此能求出所有个位数字是5的“三位递增数”发生的概率．
（Ⅱ）设甲得分为X，X的可能取值为0，1，-1，分虽求出相应的概率，由此能求出甲得分为X的分布列和数学期望．
解答 解：（Ⅰ）设个位数字是5的“三位递增数”为事件A，
事件A有125，135，145，235，245，345，
全部“三位递增数”人个数为${C}_{9}^{3}$=84，
P（A）=$\frac{6}{84}$=$\frac{1}{14}$．
（Ⅱ）设甲得分为X，X的可能取值为0，1，-1，
P（X=-1）=$\frac{1}{14}$，
P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{84}$=$\frac{2}{3}$，
P（X=1）=1-$\frac{1}{14}-\frac{2}{3}$=$\frac{11}{42}$，
∴甲得分为X的分布列为：
| X | 0 | 1 | -1 |
| P | $\frac{2}{3}$ | $\frac{11}{42}$ | $\frac{1}{14}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
练习册系列答案
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