Question

3．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（Ⅰ） 能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ） 经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
附表及公式附表及公式

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；
（Ⅱ）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率．

解答 解：（Ⅰ）由表中数据得K²的观测值K²=$\frac{50×（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$≈5.556＞5.024，
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；
（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$（如图所示）

设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，
∴由几何概型P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$即乙比甲先解答完的概率为$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查几何概型、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个综合题．