Question

如图，已知棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，且AA₁⊥平面ABCD，E为棱AA₁的中点，F为线段BD₁的中点．
（1）证明：EF∥平面ABCD；    
（2）证明：EF⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据中的找出平行线，利用判断定理证明．
（2）利用线线，线面，垂直的性质，判断定理转换求解．

解答： （14分）
证明：（1）连接AC交BD与O，连接OF，
∵ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，BD⊥OA，
又∵F为线段BD₁的中点，
∴OF∥DD1且OF=

1

2

DD₁，
∵E为棱AA₁的中点，
∴OF∥AE且OF=AE，
∴EF∥OA，
∵OA?平面ABCD，且EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，
（2）∵AA₁⊥平面ABCD且AA₁∥DD₁，
∴DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥OA，
∵BD⊥OA且BD?平面BB₁D₁D，D₁D?平面BB₁D₁D，BD∩D₁D=D，
∴OA⊥平面BB₁D₁D．
∵EF∥OA，
∴EF⊥平面BB₁D₁D．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面平行的判定，属于中档题．