Question

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|
（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）在[-2，2]上的最小值．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）原不等式即为-a|a|≥1，考虑a＜0，解二次不等式求交集即可；
（Ⅱ）将函数f（x）改写为分段函数，讨论当a≥0时，①-a≤-2，②-a＞-2，当a＜0时，①

a

3

≤-2，②

a

3

＞-2，运用二次函数的单调性，即可得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ） 若f（0）≥1，则-a|a|≥1⇒

a＜0 a2≥1

⇒a≤-1，
则a的取值范围是（-∞，-1]；          
（Ⅱ）函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|=

3x2-2ax+a2，x≥a x2+2ax-a2，x＜a

，
当a≥0时，
①-a≤-2即a≥2时，f（x）在[-2，2]上单调递增，所以
f（x）_min=f（-2）=4-4a-a²；                    
②-a＞-2即0≤a＜2时，f（x）在[-2，-a]上单调递减，在[-a，2]上单调递增，所以
f（x）_min=f（-a）=-2a²；                           
当a＜0时，
①

a

3

≤-2即a≤-6时，f（x）在[-2，2]上单调递增，所以
f（x）_min=f（-2）=12+4a+a²；                          
②

a

3

＞-2即-6＜a＜0时，f（x）在[-2，

a

3

]上单调递减，在[

a

3

，2]上单调递增，所以
f（x）_min=f（

a

3

）=

2a2

3

，
综上可得，f（x）_min=

a2+4a+12，a≤-6 2a2 3 ，-6＜a＜0 -2a2，0≤a＜2 -a2-4a+4，a≥2

点评：本题考查绝对值函数的运用，考查分类讨论的思想方法，考查二次函数在闭区间上的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．