Question

12．若对x＞0，y＞0，有（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）≥m恒成立，则m的最大值为8．

Answer 1

分析 先根据不等式的基本性质求出（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）的最小值为8，再根据不等式恒成立的问题求出m的范围，问题得以解决．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+2+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=8，当且仅当x=2y时取等号，
∴（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）的最小值为8，
∵对x＞0，y＞0，有（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）≥m恒成立，
∴m≤8，
∴m的最大值为8，
故答案为：8．

点评 本题考查了不等式的基本性质和不等式恒成立的问题，属于中档题．