Question

已知、是两个不共线的非零向量．
（1）设，（t∈R），，当A、B、C三点共线时，求t的值．
（2）如图，若，，与夹角为120°，||=||=1，点P是以O为圆心的圆弧上一动点，设（x，y∈R），求x+y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量共线定理，及已知向量建立等式，利用平面向量基本定理，即可得到结论；
（2）建立坐标系，用三角函数确定x+y，再利用辅助角公式，即可得到结论．
解答：解：（1）由题意，A、B、C三点共线，可设，（2分）
∵，（t∈R），，
∴，，
∴=
∴k=-3，t=．（6分）
（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D（1，0），E（-，）．
设∠POD=α（0≤α），则P（cosα，sinα），由，得cosα=x-y，sinα=，于是y=，x=cosα+，（10分）
于是x+y=cosα+=2sin（α+），
故当α=时，x+y的最大值为2．（14分）
点评：本题考查向量知识的综合运用，考查三角函数知识，解题的关键是掌握向量共线定理，正确运用三角函数知识，属于中档题．