Question

在等差数列中，，，记数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数、，且，使得、、成等比数列？若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，且，.

试题分析：（1）将等差数列中的相应式子转化为首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差，最后再利用等差数列的通项公式即可求出等差数列的通项公式；（2）先将数列的通项公式结构选择裂项求和法求数列的前项和，然后根据条件列式，利用正整数的一些相关性质列不等式求出、的值.
试题解析：（1）设等差数列的公差为，
因为即                           2分
解得                                     3分
所以．
所以数列的通项公式为．                    4分
（2）因为，                  5分
所以数列的前项和


．                             7分
假设存在正整数、，且，使得、、成等比数列，
则．                                   8分
即．                              9分
所以．
因为，所以．
即．
因为，所以．
因为，所以．                             12分
此时．                            13分
所以存在满足题意的正整数、，且只有一组解，即，．          14分