Question

【题目】.证明：

（1）当，；

（2）对任意，当时，.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题解析：

证明：（1）考虑函数，，

则的导数，

从而，

故在内递减，在内递增，

因此对任意，都有，

即（当且仅当时，等号成立）①，

所以当时，，即；

（2）由①可知当时，，

即当时，②；

当时，③.

令函数，，

注意到，故要证②与③，只需证明在内递减，在内递增.

事实上，当时，

；

当时，

.

综上，对任意，当时，.

点睛:本题函数的解析式为背景，旨在考查与函数有关的不等式的证明的方法，以及运用所学导数知识去分析问题和解决问题的推理论证能力、分析问题解答问题的能力。解答第一问时，先构造函数，，然后运用导数这一研究函数单调性的工具，进行分析推证从而使得问题获证；第二问的推证这是运用分析转化的数学思想进行等价转化，然后再构造函数，，运导数知识进行分析证明的，整个推证过程充分运用分析、综合的常用的数学思想方法进行分析推证，体现转化与化归思想的灵活运用。不等式的证明问题是高考和各级各类考试的难点内容和题型，求解时应具体问题具体分析灵活采用不同的方法进行综合运用，以达证明之目的。