Question

【题目】已知函数f(x)＝a－.

(1)求f(0)；

(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；

(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f(0)＝a－1；（2）见解析；（3）(－∞，2).

【解析】试题分析：（1）代入x=0即可得值；

（2）利用单调性的定义任取x1，x2∈R，且x1<x2，判断f(x1)－f(x2)与0的大小即可；

（3）由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)，得a＝1，进而由函数单调性解不等式即可.

试题解析：

(1)f(0)＝a－＝a－1.

(2)∵f(x)的定义域为R，

∴任取x1，x2∈R，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋

＝.

∵y＝2x在R上单调递增，且x1<x2，

∴0<2x1<2x2，

∴2x1－2x2<0,2x1＋1>0,2x2＋1>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上单调递增．

(3)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

即a－＝－a＋，解得a＝1.

[或用f(0)＝0求解]

∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)．

又∵f(x)在R上单调递增，

∴x<2.(或代入化简亦可)

故x的取值范围为(－∞，2)．