Question

如图，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱B₁B与底面ABC所成角为,且侧面ABB₁A₁垂直于底面ABC，

(1)求证:AB⊥CB₁；

(2)求三棱锥B₁—ABC的体积；

(3)求二面角C-AB_1-B的大小.

Answer 1

(1)证明:在平面ABB₁A₁内，过B₁点作B₁D⊥AB于D.

∵侧面ABB₁A₁⊥平面ABC，

∴B₁D⊥平面ABC.

∴∠B₁BA是B₁B与底面ABC所成的角，

即∠B₁BA=60°.

又三棱柱的各棱长均为2，

∴△ABB₁是正三角形.

∴D是AB的中点.

连结CD，在正△ABC中，CD⊥AB，

∴AB⊥CB₁.

(2)解:

∵B₁D⊥平面ABC，

∴B₁D是三棱锥B₁—ABC的高.

由B₁B=2，∠B₁BA=60°,得B₁D=2sin60°=.

∴==(××2×2)×=1.

(3)解:∵△ABC为正三角形，CD⊥AB，CD⊥B₁D，

∴CD⊥平面ABB₁.

在平面ABB₁中，作DE⊥AB₁于点E，连结CE，则CE⊥AB₁，

即∠CED为二面角C-AB₁-B的平面角.

在Rt△CED中，CD=2sin60°=.连结BA₁交AB₁于O，则BO=.

∴DE=BO=.∴tan∠CED==2.

∴所求二面角C-AB₁-B的大小为arctan2.