题目内容
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,且AB⊥AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足A1P |
A1B1 |
(1)证明:PN⊥AM;
(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该角最大值的正切值.
分析:(1)以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,分别求出
与
的坐标,要证PN⊥AM,只需求证它们的数量积为零即可;
(2)过P作PE⊥AB于E,连接EN,则∠PNE为直线PN与平面ABC所成的角θ,求出此角的正切值,然后研究其最大值即可求出λ的值.
PN |
AM |
(2)过P作PE⊥AB于E,连接EN,则∠PNE为直线PN与平面ABC所成的角θ,求出此角的正切值,然后研究其最大值即可求出λ的值.
解答:解:(1)以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz
则(λ,0,1),N(
,
,0),M(0,1,
)
从而
=(
-λ,
,-1),
=(0,1,
)
•
=(
-λ)×0+
×1-1×
=0
所以PN⊥AM(6分)
(2)过P作PE⊥AB于E,连接EN,则PE⊥面ABC,
则∠PNE为所求角θ,
所以tanθ=
=
,因为当E在AB中点时,ENmin=
.(tanθ)max=2
此时,λ=
.(12分)
则(λ,0,1),N(
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
从而
PN |
1 |
2 |
1 |
2 |
AM |
1 |
2 |
PN |
AM |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
所以PN⊥AM(6分)
(2)过P作PE⊥AB于E,连接EN,则PE⊥面ABC,
则∠PNE为所求角θ,
所以tanθ=
PE |
EN |
1 |
EN |
1 |
2 |
此时,λ=
1 |
2 |
点评:本题主要考查了直线与平面所成的角,以及直线与平面垂直的性质,考查空间想象能力,属于基础题.
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