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精英家教网如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,且AB⊥AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足
A1P
A1B1

(1)证明:PN⊥AM;
(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该角最大值的正切值.
分析:(1)以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,分别求出
PN
AM
的坐标,要证PN⊥AM,只需求证它们的数量积为零即可;
(2)过P作PE⊥AB于E,连接EN,则∠PNE为直线PN与平面ABC所成的角θ,求出此角的正切值,然后研究其最大值即可求出λ的值.
解答:解:(1)以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz
则(λ,0,1),N(
1
2
1
2
,0),M(0,1,
1
2

从而
PN
=(
1
2
1
2
,-1),
AM
=(0,1,
1
2

PN
AM
=(
1
2
-λ)×0+
1
2
×1
-1×
1
2
=0
所以PN⊥AM(6分)

(2)过P作PE⊥AB于E,连接EN,则PE⊥面ABC,
则∠PNE为所求角θ,
所以tanθ=
PE
EN
=
1
EN
,因为当E在AB中点时,ENmin=
1
2
.(tanθ)max=2
此时,λ=
1
2
.(12分)
点评:本题主要考查了直线与平面所成的角,以及直线与平面垂直的性质,考查空间想象能力,属于基础题.
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