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精英家教网如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC,∠ABC=90°,D为AC中点.
(1)求证:BD⊥AC1
(2)若AB=
2
,AA1=2
3
,求AC1与平面ABC所成的角.
分析:(1)先根据AA1⊥平面ABC证得AA1⊥BD;再结合AB=BC,D为AC中点得到AC⊥BD;两个结论相结合即可得BD⊥平面ACC1 A1进而得到结论;
(2)根据AA1⊥平面ABC,可得CC1⊥平面ABC,进而得到AC1与平面ABC所成的角为∠C1AC;然后在RT△C1CA中求出∠C1AC即可得到结论.
解答:精英家教网解:(1)证明:∵AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BD
又∵AB=BC,D为AC中点,∴AC⊥BD
∴BD⊥平面ACC1 A1
∴BD⊥AC1…(4分)
(2)∵AA1⊥平面ABC,∴CC1⊥平面ABC
∴AC1与平面ABC所成的角为∠C1AC
∵AB=BC,∠ABC=90°,AB=
2
,∴AC=2
又AA1=2
3
,∴CC1=2
3

∴tan∠C1AC=
CC1
AC
=
2
3
2
=
3

∴∠C1AC=60°.
即AC1与平面ABC所成的角为60°…(8分)
点评:本题主要考查直线与平面所成的角以及直线和直线垂直的判定.一般在证明线线垂直时,先证明线面垂直;而在证明线面垂直时,先证明线线垂直.
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