Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线与抛物线y²=-16x的准线交于A，B，且|AB|=6，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 求出y²=-16x的准线l：x=4，由渐近线与抛物线y²=-16x的准线交于A，B两点，|AB|=6，从而得出A（4，3 ），B（4，-3），将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a，b，c的关系式得出a，c的关系，即可求得离心率．

解答 解：∵y²=-16x的准线l：x=4，
∵双曲线渐近线与抛物线y²=-16x的准线l：x=4交于A，B两点，|AB|=6，
∴A（4，3 ），B（4，-3），
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得$\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$，
∴b²=$\frac{9}{16}$a²⇒a²=c²-$\frac{9}{16}$a²，
即25a²=16c²，
则双曲线的离心率e为$\frac{5}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．