Question

已知抛物线y²=4x的准线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于A、B两点，点O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则三角形AOB的面积S_△AOB=（　　）

• A、

  3

• B、

  9 3

  16

• C、

  3

  4

• D、4

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线y²=4x，可得准线方程为x=-1．由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）可得两条渐近线方程分别为y=±

b

a

x．由于双曲线的离心率为2，可得2=

1+( b a )2

，解得

b

a

．把渐近线方程与直线x=-1联立即可解得A，B
的坐标，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答： 解：由抛物线y²=4x，可得准线方程为x=-1．
由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）可得两条渐近线方程分别为y=±

b

a

x．
∵双曲线的离心率为2，∴2=

1+( b a )2

，解得

b

a

=

3

．
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）可得两条渐近线方程分别为y=±

3

x．
联立

x=-1 y= 3 x

，解得

x=-1 y=- 3

，取B(-1，-

3

)．
同理可得A(-1，

3

)．
∴|AB|=2

3

．
则三角形AOB的面积S_△AOB=

1

2

×1×|AB|=

1

2

×2

3

=

3

．
故选：A．

点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于基础题．