Question

13．设F₁为椭圆C₁：$\frac{（x-1）^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦点，M是C₁上任意一点，P是线段F₁M的中点；
（]）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线y=kx+2交轨迹C于A，B两点，AB的中垂线交y轴于点Q（0，t），求t的范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），根据中点坐标公式得出M点坐标，代入椭圆C₁方程化简即可得出动点P的轨迹C的方程；
（2）联立方程组，根据根与系数的关系得出AB的中点坐标，由判别式大于零得出k的范围，得出AB的中垂线方程，求得t关于k的表达式，根据k的范围得出t的范围．

解答 解：（1）F₁（-1，0），设P（x，y），则M（2x+1，2y），
∵M在椭圆C₁：$\frac{（x-1）^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1上，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
即动点P的轨迹C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
令△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k$＞\frac{1}{2}$或k＜-$\frac{1}{2}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
∴AB的中点坐标为（-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{6}{3+4{k}^{2}}$），
∴AB的中垂线方程为y-$\frac{6}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$），
令x=0得y=$\frac{-2}{3+4{k}^{2}}$，即t=$\frac{-2}{3+4{k}^{2}}$，
∵k²$＞\frac{1}{4}$，∴t＜-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．