Question

20．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=3，且α为锐角．
（1）求tanα的值；
（2）求sin（α+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和的正切公式，求得tanα的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinα、cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（α+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）∵$tan（\frac{π}{4}+α）=\frac{{tan\frac{π}{4}+tanα}}{{1-tan\frac{π}{4}tanα}}=\frac{1+tanα}{1-tanα}$，
由$tan\;（\frac{π}{4}+α）=3$，得：$\frac{1+tanα}{1-tanα}=3$，解得$tanα=\frac{1}{2}$．
（2）∵α为锐角，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$，sin²α+cos²α=1，∴$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴$sin（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{15}+2\sqrt{5}}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的三角公式的应用，属于基础题．