Question

12．若正数3x+4y+5z=6，则$\frac{1}{2y+z}$+$\frac{4y+2z}{x+z}$的最小值$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 由题意化简可得原式=$\frac{x+z}{2（2y+z）}$+$\frac{2（2y+z）}{x+z}$+$\frac{1}{3}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵正数3x+4y+5z=6，
∴$\frac{1}{2y+z}$+$\frac{4y+2z}{x+z}$=$\frac{3x+4y+5z}{6（2y+z）}$+$\frac{2（2y+z）}{x+z}$
=$\frac{3（x+z）+2（2y+z）}{6（2y+z）}$+$\frac{2（2y+z）}{x+z}$
=$\frac{x+z}{2（2y+z）}$+$\frac{2（2y+z）}{x+z}$+$\frac{1}{3}$
≥2$\sqrt{\frac{x+z}{2（2y+z）}•\frac{2（2y+z）}{x+z}}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{3}$
当且仅当$\frac{x+z}{2（2y+z）}$=$\frac{2（2y+z）}{x+z}$时，取等号
故答案为：$\frac{7}{3}$

点评 本题考查基本不等式，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．