Question

16．若曲线y=lnx的一条切线为y=e（x-a）+b，其中a，b为正实数，则实数a的取值范围是（$\frac{2}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 设切点为（m，n），根据导数几何意义列出方程有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=e}\\{lnm=e（m-a）+b}\end{array}\right.$，得到b=ae-2，由a，b＞0，从而进一步求解即可．

解答 解：设切点为（m，n），
y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$，
一条切线为y=e（x-a）+b（a，b＞0）
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=e}\\{lnm=e（m-a）+b}\end{array}\right.$⇒m=$\frac{1}{e}$，b=-1-e（$\frac{1}{e}$-a）=-2+ea，
∵b＞0，∴a＞$\frac{2}{e}$．
则a的取值范围是（$\frac{2}{e}$，+∞）．
故答案为：（$\frac{2}{e}$，+∞）．

点评 本题主要考查了导数几何意义、切线方程，以及不等式的解法，考查运算能力，属中档题．