Question

14．如图，已知正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，M，N 分别是棱 AA₁，AB上的点，且 AM=AN=1
（1）求证：平面AMN∥平面DD₁C
（2）平面 MNCD₁将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．

Answer 1

分析 （1）推导出AN∥平面DD₁C，AM∥平面DD₁C，由此能证明平面AMN∥平面DD₁C．
（2）记平面MNCD₁ 将正方体分成两部分的下部分体积为V₁，上部分体积为V₂，连接D₁A，D₁N，DN，则几何体 D₁-AMN，D₁-ADN，D₁-CDN均为三棱锥，由此能求出平面 MNCD₁分此正方体的两部分体积的比．

解答 证明：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵M，N 分别是棱 AA₁，AB上的点，且 AM=AN=1，
∴AN∥DC，
又∵DC?平面DD₁C，AN?平面DD₁C，
∴AN∥平面DD₁C，
同理，AM∥平面DD₁C，
又∵AM∩AN=A，∴平面AMN∥平面DD₁C．
解：（2）记平面MNCD₁ 将正方体分成两部分的下部分体积为V₁，上部分体积为V₂，
如图，连接D₁A，D₁N，DN，则几何体 D₁-AMN，D₁-ADN，D₁-CDN均为三棱锥，
∴${V}_{1}={V}_{{D}_{1}-AMN}+{V}_{{D}_{1}-ADN}+{V}_{{D}_{1}-CDN}$
=$\frac{1}{3}{S}_{△AMN}•{D}_{1}{A}_{1}$+$\frac{1}{3}{S}_{△ADN}•{D}_{1}D$+$\frac{1}{3}{S}_{△CDN}•{D}_{1}D$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3+\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×3+\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×3$
=$\frac{13}{2}$，
从而${V}_{2}={V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}-{V}_{AMN-{D}_{1}C}$=27-$\frac{13}{2}$=$\frac{41}{2}$，
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}=\frac{13}{41}$．
所以平面MNCD₁分此正方体的两部分体积的比为$\frac{13}{41}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查平面分正方体的两部分体积的比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．