Question

在菱形ABCD中，∠ABC=30°，BC=4，若在菱形ABCD内任取一点，则该点到四个顶点的距离均不小于1的概率是（　　）

• A．

  π

  6

• B．1-

  π

  6

• C．

  π

  8

• D．1-

  π

  8

Answer 1

分析：以菱形ABCD的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示，可得当该点位于图中阴影部分区域时，它到四个顶点的距离均不小于1．因此算出菱形ABCD的面积和阴影部分区域的面积，利用几何概型计算公式加以计算，即可得到所求的概率．

解答：解：分别以菱形ABCD的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示．
在菱形ABCD内任取一点P，则点P位于四个圆的外部或在圆上时，
满足点P到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域
∵S_菱形ABCD=AB•BCsin30°=4×4×

1

2

=8，
∴S_阴影=S_菱形ABCD-S_空白=8-π×1²=8-π．
因此，该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P=

S阴影

S菱形ABCD

=

8-π

8

=1-

π

8

．
故选：D

点评：本题给出菱形ABCD，求在菱形内部取点，使该点到各个顶点的距离均不小于1的概率．着重考查了菱形的面积公式、圆的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于中档题．