Question

如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点N为CD中点，PA⊥平面ABCD．
（I）求证：CD⊥平面PAN；
（II）若点M为PC中点，AB=1，PA=

3

，求直线AM与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）要证CD⊥平面PAN，可由PA⊥平面ABCD得出CD⊥PA；△ACD为正三角形，点N为CD中点，得出CD⊥AN，且PA∩AN=A而证出．
（II）过A作AH⊥PN于H，则AH⊥平面PCD，连接MH，则∠AMH为直线AM与平面PCD所成角．在RT△AMH中求解即可．

解答：（I）证明：因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，所以△ACD为正三角形，所以AC=AD，又因为点N为CD中点，所以CD⊥AN．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．PA∩AN=A，∴CD⊥平面PAN．
（II）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAN，CD?平面PCD，∴平面PAN⊥平面PCD，且平面PAN∩平面PCD=PN，
过A作AH⊥PN于H，则AH⊥平面PCD，连接MH，则∠AMH为直线AM与平面PCD所成角．
在RT△PAN中，PA=

3

，AN=

3

2

，由勾股定理得出PN=

15

2

，根据面积相等法得AH=

PA•AN

PN

=

15

5

．
在RT△PAC中，AM=

1

2

PC=

1

2

PA2+AC2

=1，
在RT△AMH中，sin∠AMH=

AH

AM

=

15 5

1

=

15

5

．即直线AM与平面PCD所成角的正弦值是

15

5

．

点评：本题考查直线和平面位置关系的判断，线面角求解．考查空间想象、推理论证、转化、计算能力．