Question

（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a为常数，e为自然对数的底，e≈2.71828）．

（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）＞0在区间（0，）上恒成立，求a的最小值．

Answer 1

（1）f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为（2，+∞）；

（2）a的最小值为2﹣4ln2．

【解析】

试题分析：（1）先求函数的导数，然后用导数求函数的单调区间；

（2）对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令g（x）=2﹣，x∈（0，），问题转化为求函数的最值问题.

试题解析：【解析】
（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，

由f′（x）＞0，x＞2；f′（x）＜0，得0＜x＜2．

故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为（2，+∞）；

（2）对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，

令g（x）=2﹣，x∈（0，），

则g′（x）=，

再令h（x）=21nx+﹣2，x∈（0，），则h′（x）=＜0，

故h（x）在（0，）上为减函数，

于是h（x）＞h（）=2﹣2ln2＞0，

从而，g′（x）＞0，于是g （x）在（0，）上为增函数，

所以g（x）＜g（）=2﹣41n2，

故要使a＞2﹣恒成立，只需a≥2﹣41n2．

∴a的最小值为2﹣4ln2．

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化的思想.