Question

6．设函数f（x）=（x+k+1）$\sqrt{x-k}$，g（x）=$\sqrt{x-k+3}$，其中k＞0．
（1）若k=1，解不等式f（x）＜2g（x）；
（2）求函数F（x）=f（x）-（x-k）g（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）代入k=1，化简不等式转化为不等式组求解即可．
（2）化简函数的解析式，利用函数为0，通过分类讨论求解函数的零点即可．

解答 解：（1）解由k=1，不等式f（x）＜2g（x）；
即（x+2）$\sqrt{x-1}$＜2$\sqrt{x+2}$，变形等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{\sqrt{（x+2）（x-1）}＜2}\end{array}\right.$-----------------------------3分
解得1≤x＜2．--------------------------------------------------5分
（2）函数F（x）=f（x）-（x-k）g（x）
=（x+k+1）$\sqrt{x-k}$-（x-k）$\sqrt{x-k+3}$
=$\sqrt{x-k}$[（x+k+1）-$\sqrt{（x-k）（x-k+3）}$]，
令F（x）=0，所以x=k或x+k+1=$\sqrt{（x-k）（x-k+3）}$（x≥k）．---------------------------------7分
由x+k+1=$\sqrt{（x-k）（x-k+3）}$（x≥k）．
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≥k}\\{（4k-1）x=-5k-1}\end{array}\right.$--------------------------------------------------9分
当k=$\frac{1}{4}$时，此方程无解；--------------------------------------------------10分
当$k≠\frac{1}{4}$时，$x=\frac{-5k-1}{4k-1}$，$\frac{-5k-1}{4k-1}-k=\frac{-（2k+1）^{2}}{4k-1}$，
当k＞$\frac{1}{4}$时，$\frac{-5k-1}{4k-1}＜k$，所以此根不是原函数的零点，----------------------------------12分
当k$＜\frac{1}{4}$且$k≠-\frac{1}{2}$时，此根为原函数的零点，当x=$-\frac{1}{2}$时，此根与k相等．--------------------------------------------------14分
故原函数的零点，当k＜$\frac{1}{4}$且k$≠-\frac{1}{2}$时，原函数有两个零点；
当k$≥\frac{1}{4}$或k=$-\frac{1}{2}$时，原函数有一个零点．--------------------------------------------------16分．

点评 本题考查函数的零点与方程的根的关系，无理不等式的解法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．