Question

【题目】设函数为奇函数，为常数.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用即可求解出的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知利用单调性的定义法证明在定义区间上为单调递增，又因为为奇函数，所以在其对称区间为单调递增；（Ⅲ）因为在上恒为正，所以采用参数分离的方法，构造新的函数，进而求出的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）为奇函数，

∴对定义域内的任意都成立.

即对定义域内的任意都成立.

∴，∴，

∴，∴，

解得或（舍去），所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则函数的定义域为.

任取，设，则，

∴函数为增函数，∴在上为增函数，

同理函数在也为增函数.

所以函数的单调增区间为，.

（Ⅲ）由题意知不等式在上恒成立，

即不等式在上恒成立.

令函数，由（Ⅱ）知函数在上是增函数，

∵函数在上是减函数，∴函数在上是增函数，

∴.

所以的取值范围为.