Question

【题目】已知函数．

（1）若，求函数的极值和单调区间；

（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）极小值为，单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由．令．再利用导数工具可得：极小值和单调区间；（2）求导并令，再将命题转化为在区间上的最小值小于．当，即时，恒成立，即在区间上单调递减，再利用导数工具对 的取值进行分类讨论.

试题解析：（1）当，．

令得，．

又的定义域为，由得，由得，．

所以时，有极小值为 ．

的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2），且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于 ．

当，即时，恒成立，即在区间上单调递减，

故在区间上的最小值为，

由，得，即．

当即时，

①若，则对成立，所以在区间上单调递减，

则在区间上的最小值为，

显然，在区间的最小值小于0不成立．

②若，即时，则有

	-	0	+
	↘	极小值	↗

所以在区间上的最小值为，

由，得，解得，即，

综上，由①②可知，符合题意