Question

【题目】已知函数.

⑴当，求函数在区间上的极值；

⑵当时，函数只有一个零点，求正数的值．

Answer 1

【答案】（1） 在区间上只有极大值，无极小值，且； （2）.

【解析】

试题分析：（1）当时，求函数的导数，在区间研究导数的符号及函数的单调性，即可求函数的极值；（2）函数只有一个零点，等价于方程只有一个实数解，即只有唯一正实数解,构造函数，求其导数，由导数讨论函数的单调性与极值，即可求的值.

试题解析： （1）当时，，

由得，

当时，上单调递增，

当时，上单调递减，

上只有极大值，无极小值，且

（2）只有一个零点，等价于方程只有一个实数解，即只有唯一正实数解.设，则，令，解得：…7分

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

.

要使得方程只有唯一实数解，

则，得

，

设恒成立，故在（0，+∞）单调递增，至多有一解．又，

∴，即解得．