Question

14．已知函数f（x）=（x²+bx+b）e^x．
（1）当b=1时，求函数f（x）的增区间．
（2）当0＜b≤2时，求函数f（x）在[-2b，b]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）当b=1时求出函数的f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，利用导函数大于0，求解即可．
（2）求出函数的导函数f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．求出极值点，通过极值点的大小，0＜b≤1时1＜b＜2时，利用函数的单调性，求出M即可．

解答 解：（1）当b=1时，f（x）=（x²+x+1）e^x，
所以f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，
由f′（x）＞0，得x＞-1或x＜-2．
故函数f（x）的增区间为（-∞，-2），（-1，+∞）．----------（5分）
（2）因为f（x）=（x²+bx+b）e^x，所以f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．
由f′（x）=0，得x=-2或x=-b．
当-2≤-2b，即0＜b≤1时，函数f（x）在（-2b，-b）上单调递减，在（-b，b）上单调递增，
所以M=max{f（-2b），f（b）}，
因为f（-2b）=（2b²+b）•e^-2b，
f（b）=（2b²+b）•e^b．
所以M=f（b）．
当-2b＜-2＜-b，即1＜b＜2时，函数f（x）在（-2b，-2）上单调递增，在（-2，-b）上单调递减，
在（-b，b）上单调递增．
所以M=max{f（-2），f（b）}，
因为f（-2）=（4-b）•e^-2，
且（2b²+b）-（4-b）=2b²+2b-4
=2-＞0（1＜b＜2），
所以M=f（b）．
当-2=-b，即b=2时，f′（x）≥0，
函数f（x）在（-2b，b）上单调递增，
所以M=f（b）．
综上所述，M=f（b）=（2b²+b）e^b．----------（14分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．