题目内容
△ABC中，∠C=2∠A，且A＜B＜C，b=10，a+c=2b，求a，c及△ABC的面积．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：利用正弦定理列出关系式，把c=20-a，sinC=sin2A=2sinAcosA代入表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等求出a的值，进而求出c的值，得出cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由b与c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
解答：
解：在△ABC中，b=10，a+c=2b=20，∠C=2∠A，
由正弦定理得：
=
=
=
，即cosA=
，
由余弦定理得：cosA=
=
，
可得
=
，
整理得：a2-18a+80=0，即（a-8）（a-10）=0，
解得：a=8或a=10，
当a=10时，c=10，此时∠A=∠C，不合题意，舍去；
∴a=8，c=12，即△ABC三边长为8，10，12，
∴cosA=
=
，sinA=
=
，
则S△ABC=
bcsinA=
×10×12×
=15
．
由正弦定理得：
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
| 20-a |
| sinC |
| 20-a |
| 2sinAcosA |
| 20-a |
| 2a |
由余弦定理得：cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 100+(20-a)2-a2 |
| 20(20-a) |
可得
| 20-a |
| 2a |
| 100+(20-a)2-a2 |
| 20(20-a) |
整理得：a2-18a+80=0，即（a-8）（a-10）=0，
解得：a=8或a=10，
当a=10时，c=10，此时∠A=∠C，不合题意，舍去；
∴a=8，c=12，即△ABC三边长为8，10，12，
∴cosA=
| 20-8 |
| 16 |
| 3 |
| 4 |
| 1-cos2A |
| ||
| 4 |
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 7 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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若偶函数f（x）在（-∞，0]上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A、f（-
| ||
B、f（2）＜f（-1）＜f（-
| ||
C、f（2）＜f（-
| ||
D、f（-1）＜f（-
|
已知a是实数，则“0＜a＜1”是“方程x2+y2-2ax+2a2-1=0表示圆”的（ ）
| A、充分而不必要条件 |
| B、必要而不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，∁U（A∪B）等于（
| A、{4} | B、{6} |
| C、{4，6} | D、∅ |