Question

18．若实数x，y，m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（Ⅰ）比较log₂0.6与2^0.6哪一个远离0；
（Ⅱ）已知函数f（x）的定义域$D=\left\{{x\left|{x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z}\right.}\right\}$，任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值，写出函数f（x）的解析式以及f（x）的三条基本性质（结论不要求证明）．

Answer 1

分析 （I）利用${log_2}\frac{5}{3}＜{2^{0.6}}$，即可得出．
（Ⅱ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sinx，x∈（kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{3π}{4}）（k∈Z）\\ cosx，x∈（kπ+\frac{3π}{4}，kπ+\frac{5π}{4}）（k∈Z）.\end{array}\right.$，可得f（x）的性质：奇偶性，周期性，单调性，最值，进而得出．

解答 解：（Ⅰ）$|{log_2}0.6-0|=|{log_2}0.6|={log_2}\frac{5}{3}，|{2^{0.6}}-0|=|{2^{0.6}}|={2^{0.6}}$．（1分）
∵$0＜{log_2}\frac{5}{3}＜1，1＜{2^{0.6}}＜2$，（2分）
∴${log_2}\frac{5}{3}＜{2^{0.6}}$，
∴$|{log_2}0.6-0|＜|{2^{0.6}}-0|$，
∴2^0.6比log₂0.6远离0．（3分）
（Ⅱ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sinx，x∈（kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{3π}{4}）（k∈Z）\\ cosx，x∈（kπ+\frac{3π}{4}，kπ+\frac{5π}{4}）（k∈Z）.\end{array}\right.$（5分）f（x）的性质：
①f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
②f（x）是周期函数，最小正周期T=2π；
③f（x）在区间$（{2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{π}{2}}]，[{2kπ+π，2kπ+\frac{5π}{4}}），[{2kπ+\frac{3π}{2}，2kπ+\frac{7π}{4}}）$，$（{2kπ+\frac{7π}{4}，2kπ+2π}]（k∈Z）$单调递增，
f（x）在区间$[{2kπ，2kπ+\frac{π}{4}}）$，$[{2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{4}}），（{2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+π}]$，$（{2kπ+\frac{5π}{4}，2kπ+\frac{3π}{2}}]$（k∈Z）单调递减；
④当x=2kπ或$x=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$时，f（x）有最大值1，
当x=2kπ+π或$x=2kπ+\frac{3π}{2}（k∈Z）$时，f（x）有最小值-1．（8分）

点评 本题考查了新定义“x比y远离m”、对数函数的单调性、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．