Question

13．给出下列命题：
①存在实数x，使得sinx+cosx=$\frac{3}{2}$；
②函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称；
③若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称，则k=-1；
④在平行四边形ABCD中，若|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AB}$|，则四边形ABCD的形状一定是矩形．
则其中正确的序号是③④（将正确的判断的序号都填上）

Answer 1

分析 根据正弦型函数的图象和性质，可判断①②③，根据向量模的几何意义，可判断④．

解答 解：sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，$\frac{3}{2}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，故①为假命题；
当x=$\frac{π}{12}$时，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，此时函数取最大值，故函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，故②为假命题；
若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称，则$\frac{\sqrt{2}}{2}k+\frac{\sqrt{2}}{2}=0$，解得：k=-1，故③为真命题；
在平行四边形ABCD中，若|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AB}$|，即平行四边形ABCD的两条对角线长度相等，则四边形ABCD的形状一定是矩形，故④为真命题；
故答案为：③④

点评 本题考查的知识点是和差角（辅助角）公式，三角函数的对称性，向量的模，向量加法的三角形法则，难度中档．