Question

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S_△ADC=，求AB的长．

Answer 1

【答案】分析：利用三角形的面积公式求出sin∠DAC的值，即得sin∠BAC的值，从而求得cos∠BAC的值．利用两角差的正弦公式求得sin∠ACB=sin（120°-∠BAC）的值．三角形ABC中，利用正弦定理，即可求出AB的长．
解答：解：∵在△ADC中，已知AC=6，AD=5，S_△ADC=，
则由S_△ADC=•AC•AD•sin∠DAC=，∴sin∠DAC=，
故 sin∠BAC=，cos∠BAC=．
由于∠ABC=60°，故sin∠ACB=sin（120°-∠BAC）=sin120°cos∠BAC-cos120°sin∠BAC
=-（-）×=．
△ABC中，由正弦定理可得 ，即 ，解得AB=8．
点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及两角差的正弦公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．