Question

已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F（0，1）
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO与BO分别交直线l：y=x-2于M、N两点，当|MN|=

16

7

时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线的焦点坐标求出p，然后求出抛物线方程．
（2）设A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)，求出kAO=

x1

4

，kBO=

x2

4

，联立AO的方程与直线l，求出M坐标，同理求出N的坐标，推出MN的距离表达式，设AB：y=kx+1，推出弦长公式求出MN，即可解得k．

解答： （本题14分）解：（1）由已知可得抛物线的方程为：x²=2py（p＞0），且

p

2

=1⇒p=2，
所以抛物线方程是：x²=4y…（2分）
（2）设A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)，所以kAO=

x1

4

，kBO=

x2

4

，
所以AO的方程是：y=

x1

4

x，
由

y= x1 4 x y=x-2

      ∴xM=

8

4-x1

，yM=

2x1

4-x1

同理由

y= x2 4 x y=x-2

     ∴xN=

8

4-x2

，yN=

2x2

4-x2

…（4分）
所以|MN|=

( 8 4-x1 - 8 4-x2 )2+( 2x1 4-x1 - 2x2 4-x2 )2

，
|MN|=

64(x1-x2)2 [16-4(x1+x2)+x1x2]2 + 64(x1-x2)2 [16-4(x1+x2)+x1x2]2

|MN|=

128(x1-x2)2 [16-4(x1+x2)+x1x2]2

=

128[(x1+x2)2-4x1•x2] [16-4(x1+x2)+x1x2]2

…（7分）
设AB：y=kx+1，由

y=kx+1 x2=4y

∴x2-4kx-4=0，…（9分）
∴

x1+x2=4k x1x2=-4

…（10分）
∴|MN|=

128[(x1+x2)2-4x1•x2] [16-4(x1+x2)+x1x2]2

=

128[16k2+16] (16-16k-4)2

=

16

7

化简得17k²+48k+31=0…（12分）
解得k=-1或k=-

31

17

…（14分）
直线的方程为：y=-x+1或y=-

31

17

x+1．

点评：本题考查抛物线标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．