Question

【题目】设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒成立，且当时，.

（1）求证：是以2为周期的函数（不需要证明2是的最小正周期）；

（2）对于整数，当时，求函数的解析式；

（3）对于整数，记在有两个不等的实数根}，求集合.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）利用和可得结论；
（2）先求出时，，设，则，根据是以2为周期的函数，即可求解．
（3）将方程转化为二次函数，利用二次函数根的分布求的取值集合．

解：（1）因为
所以：是以2为周期的函数；
（2）∵当时，，函数是定义在上的偶函数
∴当时，，
∴时，，
∵是以2为周期的函数，即，
设，则，
，
即，
（3）当，且时，方程化简为

，
设，使方程在上有两个不相等的实数根，

则，
解得，
当时，
∴集合.