Question

设函数，a、b，x=a是的一个极大值点．

（1）若，求b的取值范围；

（2）当a是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解析：（1）时，，

，……1分

令，，

可设是的两个根，……………………………………2分

①当或时，则不是极值点，不合题意；

②当且时，由于是的极大值点，

故，即，故b的取值范围是. ……5分

(2)，

令，

则，于是，假设是的两个实根，且

由（1）可知，必有，且是的三个极值点，

则，. ……6分

假设存在及满足题意，不妨只考虑公差大于零的情形，即：

①当排列为或，则，即时，[]

于是或

即

或……………………8分

②当排列为或，则或

(i)若，于是，

即两边平方得，

于是，从而，

此时………10分

(ii)若，于是，

即两边平方得，

于是，从而

此时

综上所述，存在b满足题意，当b=－a－3时，；当时，；时，.