Question

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n（n=1，2，3…），T_n为数列{c_n}的前n项和，若2a²-5a＞2T_n恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得b1=

2

3

，

bn

bn-1

=

1

3

，n≥2，从而得{b_n}是以b1=

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，由此能求出bn=2•

1

3n

．
（2）由等差数列数列通项公式由已知条件求出a_n=3n-1，从而得到c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

，由此利用错位相减法求出T_n=

7

2

-(

1

2•3n-2

+

3n-2

3n

)＜

7

2

．由2a²-5a＞2T_n恒成立，得2a²-5a＞2×

7

2

，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵b_n=2-2S_n，∴b₁=2-2S₁=2-2b₁，解得b1=

2

3

，
当n≥2时，b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

3

，n≥2，
∴{b_n}是以b1=

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴bn=2•

1

3n

．
（2）∵数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，
∴公差d=

1

2

(a7-a5)=3，∴a_n=3n-1，
∴c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

，
∴T_n=2[2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+（3n-1）•

1

3n

]，①

1

3

Tn=2[2•

1

32

+5•

1

33

+8•

1

34

+…+（3n-1）•

1

3n+1

]，②
①-②，得：

2

3

Tn=2[2•

1

3

+3•

1

32

+…+3•

1

3n

-（3n-1）•

1

3n+1

]
∴Tn=

7

2

-

1

2•3n-2

-

3n-1

3n

=

7

2

-(

1

2•3n-2

+

3n-2

3n

)＜

7

2

．
∵2a²-5a＞2T_n恒成立，
∴2a²-5a＞2×

7

2

，
解得a≥

7

2

或a≤-1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．