Question

7．四面体ABCD中，AB=2，BC=CD=DB=3，AC=AD=$\sqrt{13}$，则四面体ABCD外接球表面积是16π．

Answer 1

分析 证明AB⊥平面BCD，求出四面体ABCD外接球的半径，即可求出四面体ABCD外接球表面积．

解答 解：由题意，△ACD中，CD边上的高为AE=$\frac{\sqrt{43}}{2}$，△BCD中，CD边上的高为BE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AE²=BE²+AB²，
∴AB⊥BE，
∵AB⊥CD，CD∩BE=E，
∴AB⊥平面BCD，
∵△BCD的外接圆的半径为$\sqrt{3}$，
∴四面体ABCD外接球的半径为$\sqrt{1+3}$=2，
∴四面体ABCD外接球表面积4π•2²=16π，
故答案为16π．

点评 本题考查四面体ABCD外接球表面积，考查学生的计算能力，求出四面体ABCD外接球的半径是关键．